Clasificación de los Sistemas de Ecuaciones

Los sistemas de ecuaciones son conjuntos de ecuaciones que comparten un conjunto de incógnitas y cuya resolución implica encontrar valores que satisfagan todas las ecuaciones simultáneamente. Estos sistemas pueden clasificarse según distintos criterios. A continuación, exploraremos las principales formas de clasificación.

1. Clasificación según el número de ecuaciones y variables

Sistema cuadrado

Un sistema de ecuaciones es cuadrado cuando el número de ecuaciones es igual al número de variables.

Ejemplo:

\[ \begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 4x - y = 1 \end{cases} \]

Aquí hay dos ecuaciones y dos incógnitas (\( x \) e \( y \)), lo que hace que el sistema sea cuadrado.

Sistema rectangular

Un sistema es rectangular cuando el número de ecuaciones es diferente del número de variables. Puede haber más ecuaciones que variables o viceversa.

Ejemplo con más ecuaciones que variables:

\[ \begin{cases} x + y = 3 \\ 2x - y = 1 \\ 3x + y = 5 \end{cases} \]

En este caso, hay tres ecuaciones y solo dos variables, lo que hace que el sistema sea rectangular.

2. Clasificación según el tipo de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones lineales

Son aquellos en los que todas las ecuaciones son de primer grado, es decir, presentan la forma general:

\[ a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n = b \]

Ejemplo:

\[ \begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases} \]

Sistemas de ecuaciones no lineales

Contienen al menos una ecuación de grado superior a uno o con funciones trascendentes como logaritmos, exponenciales o trigonométricas.

Ejemplo:

\[ \begin{cases} x^2 + y = 3 \\ e^x + y = 5 \end{cases} \]

Aquí, la primera ecuación tiene un término cuadrático y la segunda tiene una función exponencial, lo que hace que el sistema sea no lineal.

3. Clasificación según la solución

Sistemas compatibles

Son aquellos que tienen al menos una solución. Se dividen en:

• Sistema compatible determinado: Tiene una única solución.

Ejemplo:

\[ \begin{cases} x + y = 4 \\ x - y = 2 \end{cases} \]

Resolviendo, se encuentra un solo par de valores para \( x \) e \( y \).

• Sistema compatible indeterminado: Tiene infinitas soluciones.

Ejemplo:

\[ \begin{cases} 2x + 4y = 8 \\ x + 2y = 4 \end{cases} \]

Aquí, la segunda ecuación es un múltiplo de la primera, lo que significa que ambas representan la misma recta y tienen infinitas soluciones.

Sistemas incompatibles

No tienen solución porque las ecuaciones se contradicen.

Ejemplo:

\[ \begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 2x + 3y = 7 \end{cases} \]

Dado que ambas ecuaciones son paralelas y nunca se intersectan, no hay valores de \( x \) e \( y \) que satisfagan ambas ecuaciones simultáneamente.